Sine字源(The Etymology of Sine)

2020-06-08    收藏125
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摘要:简述「正弦」的观念及符号,从希腊,经阿拉伯、拉丁文到英文的文字演变。

英文本来有 $$\text{sin}$$ 这个字,读  $$/s\iota n/$$,是(宗教、道德方面的)罪恶的意思。可是,正弦的 $$\text{sin}$$ 其实是 $$\text{sine}$$ 的缩写(虽然并没有缩掉很多),读  $$/ sa\iota n /$$。而这个英文字,是从拉丁文 $$\text{sinus}$$ 简化而来。而 $$\text{sinus}$$ 又是什幺意思呢?以下就讲这一段故事。

古典的希腊数学所讨论的是「弦」(chord)函数,也就是对应圆心角 $$\theta$$   的弦长;我们姑且将它记作  $$S(\theta)$$ ,如下图。

Sine字源(The Etymology of Sine)

有些书籍资料,说希腊数学家或天文学家托勒密(Claudius Ptolemy,  西元  85-165)製作了「正弦函数表」。其实他做的是解析度为半度的「弦表」,也就是 $$S(0.5^{\circ})$$、$$S(1^{\circ})$$、$$S(1.5^{\circ})$$、$$S(2^{\circ})\cdots S(180^{\circ})$$ 的近似值。至于他的弦表的「精确度」就不容易说明,因为当时用的是六十进位的分数(Sexagesimal System,也就是 $$1$$ 度 $$60$$ 分,$$1$$ 分 $$60$$ 秒的等分制度),大约可以说精确至小数点下四位。

印度人在西元第五世纪发展出「半弦」的观念,先计算半个圆心角(也就是对同弧的圆周角)所对应的半根弦,而其两倍就是弦长了。所以,我们今天说的「正弦」其实是印度人的「半弦」。

我们不会写印度文字,用英文字母拼其近似的音,就是 $$\text{jya-ardha}$$,而经常简记作 $$\text{jya}$$。印度的数学家发明了比托勒密更高明的估计半弦值的方法,并且製作半弦表,主要是供天文观测使用。用今天的符号写,就是

$$\displaystyle S(\theta)=2~jya(\frac{\theta}{2})$$

如果我们令圆周角的其中一边是圆的直径,则弦和两个边形成直角三角形,如下图。这就是我们将圆上的问题转换成直角三角形问题的来源了。

Sine字源(The Etymology of Sine)

就如同「阿拉伯数字」一样,印度的「半弦」也传到了阿拉伯。我们也不会写阿拉伯文字,用英文字母来对应,阿拉伯翻译了印度的 $$\text{jya}$$,变成他们的 $$\text{jiba}$$。阿拉伯人比印度人更进一步,发现了 $$\tan\theta$$   的用途,于是除了计算并製作半弦表以外,也製作了正切表。

在欧洲所谓的「十字军东征」之后,西方学者透过掠夺回去的书籍逐渐从阿拉伯人那里学到了令他们「耳目一新」的数学。而当时的阿拉伯文明,其实远高于所谓的西方。当时的阿拉伯,融会贯通了希腊和印度的数学和科学知识,并以阿拉伯文记述在书籍上;而当时的欧洲才刚开始要从「黑暗时期」走向曙光。

西方的学者,当时可以说都是僧侣或者靠着修道院生活和工作的人。他们有少数人学会了阿拉伯文,就负起将阿拉伯书籍翻译成拉丁文的责任;当时的欧洲共同语文是拉丁文,也就是罗马帝国的官方语文。

因为 $$\text{jiba}$$ 不是阿拉伯生活或文学中的用字,而且就像我们把 $$\text{sine}$$ 缩写成 $$\text{sin}$$,$$\text{jiba}$$ 又经常被缩写成 $$\text{jb}$$。所以,可能有某位负责誊写的写字僧把 $$\text{jiba}$$ 误写成 $$\text{jaib}$$,或者有某位负责翻译的僧侣把 $$\text{jiba}$$ 误会成 $$\text{jaib}$$。总之,愿他们的灵魂安息。

而 $$\text{jaib}$$ 就是一个阿拉伯字了,意思是「山凹」。修道院的僧侣或许不知道书的内容是在计算「半弦」,也可能不明白「半弦」和「山凹」有何关係?总之,这位修道院高阁内的僧侣,出于我们或许可以想像的原因,用了 $$\text{sinus}$$ 这个字来翻译 $$\text{jaib}$$。$$\text{Sinus}$$ 这个拉丁字有几个意思,当时最可能被引用的意思,是女性上半身某处所形成的「山凹」;想必读者一定知道,就是「乳沟」的意思(后来又俗称为「事业线」)。$$\text{Sinus}$$ 的拉丁文发音类似「希努斯」。

现在我们知道,其实 $$\sin$$ 的本义来自印度文的「半弦」,而它的拼音来自拉丁文的「乳沟」。至于 $$\cos$$ 就是 $$\text{complementary sine}$$ 的缩写,它就是「余角的半弦」的意思,读作 $$/kosa\iota n/$$。为了将 $$\sin$$ 和 $$\cos$$ 相对而称,中文就把一个称为正弦,而另一个称为余弦了。

关于这段数学史,推荐阅读《温柔数学史》,博雅书屋出版。关于十四世纪那个时代的修道院、藏书阁、写字僧以及他们的生活环境,推荐阅读一部颇注重考据的小说《玫瑰的名字》,皇冠出版。

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参考文献

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